斯坦格猜想是关于矩阵特征值的位置的断言，这些矩阵的元素是包含在正交多项式的零点上支持的基本拉格朗日插值多项式的某些积分。本文证明了经典正交多项式族的扩展Stenger猜想的有效性。我们还证明了Jacobi和广义Laguerre正交多项式族的限制性Strenger猜想的有效性。研究了配置龙格-库塔方法与A-稳定性的关系。
给定一个非负的权函数ω，在一个区间上，用，表示，关于标量积的正交多项式
让矩阵和被定义为
(1.1)
式中，为正交多项式的零点，为相关的阶次基本拉格朗日插值多项式，即:
下面的猜想在[1]和[2]中有表述。
给定一个几乎处处都是正的权函数ω，或者等价地，相关的正交多项式，在(1.1)中定义的每个矩阵的特征值位于复平面的开放的右半部分。
对于Sinc插值，在[3]中建立了该猜想的有效性。在[4]中证明了该猜想对Legendre多项式成立，并证明了其与n阶gaas - runge - kutta方法的a -稳定性的等价性。此外，在[4]中，该猜想在带参数的雅可比正交多项式的情况下成立。在[4]中，作者对一些分段常权函数的猜想提供了一个反例。在本文中，我们证明了该猜想对于特定的权函数族的有效性，从而使我们能够特别地证明关于Jacobi、广义Laguerre正交多项式和Jacobi - koonwinder正交多项式族的猜想。
在受限的Stenger猜想中，矩阵(有a有限)和矩阵(有b有限)定义为
(1.2)
这个猜想是这样的
给定一个几乎处处都是正的权函数ω在或等价的相关正交多项式上，在(1.2)中定义的每个矩阵的特征值位于复平面的开放右半部分。
在[4]中已经证明，限制猜想一般是错误的。例如，他们证明了，至少在数值上，具有和的矩阵的特征值的实部，Gegenbauer多项式的零，是负的。然而，文献[4]中提出了几个关于Jacobi和广义Laguerre正交多项式的限制性Stenger猜想的有效范围的猜想。本文证明了一类经典正交多项式的限制性Stenger猜想的有效性。
在下面，我们给出了对一类特定权函数的扩展Stenger猜想的有效性的一般结果。该定理及其证明受到[4]中介绍的方法论的启发。
设ω为上的权函数，上的值为正。设，对于任何至多为n次的复多项式P，存在一个至多为n次的复多项式Q和一个实可微的严格递增正函数Φ，满足以下三个条件:
(2.1) (2.2)
则对于(1.1)中定义的矩阵，满足与ω相关的扩展Stenger猜想。
设λ是矩阵的一个特征值。因此，存在一个复向量
(2.3)
这样
用y表示唯一的最多次复数多项式，使得。我们有
(2.4)
根据条件(2.1)，存在一个至多n次的复多项式Q，使得
(2.5)
其中Φ在上是一个实可微的严格递增正函数因此在上是非负的。设，为高斯正交对权函数ω的权值。。用y的共轭表示，由式(2.4)得到
因此，根据(2.5)，我们有
将高斯正交法应用于最大为次多项式，得到
或者同样的
(2.6)
(2.6)左边的实部由
此外，利用乘积导数公式，我们注意到
因此，式(2.6)左边的实部为
(2.7)
而(2.6)右边的实部等于
因此，由式(2.6)，证明λ的实部非负，就足以证明式(2.7)的非负性。由于函数，分部积分法表明(2.7)等于
(2.8)
此外，考虑到和Φ是一个严格递增的正函数，表明量(2.8)是非负的，因此。让我们假设。然后必然(2.7)消失，因此
因此，继续。由于假设Φ在上严格递增，这自动意味着Q在上等于零。因此，由式(2.5)和ω on的正性，我们可以得出y等于零的结论，这与式(2.3)相矛盾
注意，可以用(2.8)的非负性条件或的非负性条件来代替定理2.1中的条件。
应用类似的论证，矩阵可以得出以下定理。
设ω为上的权函数，上的值为正。设，对于任何至多为n次的复多项式P，存在一个至多为n次的复多项式Q和一个实可微的严格降正函数Φ，满足以下三个条件:
则对于(1.1)中定义的矩阵，满足与ω相关的扩展Stenger猜想。
下面，我们将使用定理2.1来证明一类Jacobi正交多项式的扩展Stenger猜想的有效性。雅可比多项式是相对于权函数的正交多项式
(3.1)
他们承认下列明确的表达
设为实数，P为m次多项式，则，
这里R是多项式
我们对多项式p的阶进行归纳，对于常数多项式，结论是平凡的。设P是n次多项式，分部积分法得到
我们用归纳假设得出证明结论
扩展的Stenger猜想在下列每种情况下都成立:
(a)对于所有的雅可比多项式，和。
(b)对于所有的雅可比多项式，和。
(a)我们将分别考虑这两种情况。
?案例:根据引理3.1，权函数满足定理2.1的条件，有。
?情形:根据引理3.1，对于任何至多为次的多项式P，有
其中Q是最多n次的多项式，由
因此，权函数满足定理2.1的条件，有。(b)的证明是for的特征值与for的特征值重合这一事实的直接结果(见[4])。□
在下面，我们将使用定理2.2来证明一类广义拉盖尔正交多项式的扩展Stenger猜想的有效性。
广义拉盖尔多项式是相对于权函数的正交多项式
(4.1)
他们承认显式表达为
设P为m次多项式，则，
这里R是多项式
我们对多项式p的阶进行归纳，对于常数多项式，结论是平凡的。设P是m次的多项式，分部积分法得到
我们用归纳假设得出证明结论
在广义拉盖尔多项式的情况下，扩展的斯登格猜想对所有和都成立。
我们将分别考虑这两种情况和我。
?案例:根据引理4.1，权函数满足定理2.2的条件。
?情形:根据引理3.1，对于任何次多项式，我们有
其中Q是最多n次的多项式
因此，权函数满足定理2.2的条件。□
如果在矩阵和的定义中，我们取实数作为正正交的节点，则扩展的Stenger猜想对Legendre权和Laguerre权是有效的，可以应用与定理2.1证明中类似的论证来证明。同样地，当我们取关于Sobolev内积的正交多项式的零点时，扩展的Stenger猜想是成立的
对于或1的Jacobi权值和(Jacobi - koornwinder多项式[5])，对于或1的Laguerre权值(Laguerre - koornwinder多项式[6])，我们在Sobolev内积中替换为。
摘要
1 介绍
2 扩展钢筋公司
一组权函数的猜想
3.雅可比多项式的应用
4 广义拉盖尔多项式的应用
5 限制性斯坦格猜想
6 限制船舶公司
雅可比正射影
部分多项式
7 限制船舶公司
广义拉盖尔多项式的猜想
8 限制船舶公司
猜想和开花
9 限制船舶公司
猜想和搭配龙格-库塔法
10 结论
数据和材料的可用性
参考文献
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在本文的其余部分，我们将研究受限的斯登格猜想。文献[4]表明，这个猜想总体上是错误的。例如，他们至少在数值上证明了，带有和的矩阵的某些特征值的实部，Gegenbauer多项式的零，是负的。[4]证明了Legendre多项式的限制性Stenger猜想的有效性，并建立了其与n阶gaas - runge - kutta方法的a -稳定性的等价性。在文献[4]中提出了关于Jacobi和广义Laguerre正交多项式的限制性Stenger猜想的有效范围的若干猜想。
在下面，我们使用[4]中介绍的技术来证明单调可微权函数的限制性Stenger猜想的有效性。
对于可微的非递增的函数。非递减)权函数，矩阵的所有特征值(resp。)(1.2)中定义的实部为正。
设λ是矩阵的一个特征值。因此存在一个非零复向量，使得
用y表示唯一的最多次复数多项式，使得。因此,
的多项式
它的度数最多为n。因此，存在一个复常数K，使得
(5.1)
乘以(5.1)然后积分，得到
(5.2)
式(5.2)左侧实部由式给出
(5.3)
式(5.2)右侧实部为
因此，为了证明的非负性，我们需要证明式(5.3)的非负性。分部积分法得到(5.3)等于
(5.4)
由于非负可微权函数ω是上的非递增函数，因此表达式(5.4)是非负的，因此λ的实部是非负的。为了证明这一点，我们应该证明(5.4)是严格正的。我们首先注意到(5.4)只有在权函数为常数函数时才等于零
(5.5)
在这种情况下，可以使用[4](第5页)中的方法得出结论，即y与所有次多项式正交，最多，特别是，因此。这个矛盾表明。我们可以用类似的论证来证明矩阵的定理
作为定理5.1的一个应用，我们给出了Jacobi和广义Laguerre正交多项式的限制性Stenger猜想成立的实例。
下面是定理5.1的直接结果。
限制性Stenger猜想在下列情况下都成立:
(a)对于所有的雅可比多项式，和。
(b)对于所有的雅可比多项式，和。
对于所有和的广义拉盖尔多项式。
语句(a)是这样一个事实的直接结果:对于和雅可比权重函数(3.1)是一个非递增函数，因为
陈述(b)是在[4]中证明的事实的结果，即;带参数的雅可比多项式矩阵与带参数的雅可比多项式矩阵重合。为了证明(c)，我们简单地指出，对于，广义拉盖尔权函数(4.1)在上是非递增的，即:
由此推论的证明就结束了
在本节中，我们证明了(1.2)中定义的受限矩阵的特征值与某些多项式的零点重合，这些多项式的系数用正交多项式在区间端点处的连续导数的值表示。这使我们能够重申在[7]中已经证明的Jacobi正交多项式的限制性Stenger猜想，并使我们能够改进推论5.1的结果。为了充分说明结果的普遍性，我们假定在有限矩阵和的定义中，实数是区间内任意不同的实数。
受限矩阵的特征值与多项式的零点重合
(6.1)
分别为多项式的KTH阶导数。
设λ是矩阵的一个特征值。因此，由式(5.1)可知，存在一个非零复向量和一个复数C，使得
(6.2)
其中y是唯一的复数次多项式，满足。把多项式y和多项式写成
并求解式(6.2)，得到系统
按照惯例。求解会导致
而且，利用这个事实，我们得到
把这个方程代入关系式中，我们得到
这证明了λ是多项式的零。的特征值很简单，所以的谱与的零点重合。设和是与特征值λ相关的两个特征向量。那么，存在两个非零常数，使得
其中y(代表)。Z)是唯一的复数次多项式，使得(resp.)。因此，我们有
(6.3)
因为F是一个多项式，这意味着因此向量y和z是线性相关的。的证明遵循类似的论据
矩阵的一个特征向量。与特征值λ相关的是，其中
(6.4)
其中λ是(resp)的零点。．
我们只需证明存在一个常数C，使(6.2)成立。我们有
积分，我们得到
因为λ是的零点，我们有，因此
(6.5)
证明到此结束
关于特征值问题的tau逼近，Csordas等人[7]证明了多项式的Hurwitz稳定性
更准确地说，他们证明了如果和，那么多项式的零点就在半平面上;因此，根据命题6.1，雅可比多项式的特征值位于半平面内。而且，对于雅可比多项式，我们有，我们得出结论
限制性Stenger猜想在下列情况下都成立:
对于所有的雅可比多项式，和。
对于所有的雅可比多项式，和。
特别地，前面的定理表明，对于第一类、第二类和带的切比雪夫多项式，限制性Stenger猜想成立
同时，定理6.1表明，限制Stenger猜想对Legendre多项式和Gegenbauer(或超球面)多项式成立，当，其中
在下面，我们证明了当参数α被限制在区间内时，广义Laguerre多项式的限制性Stenger猜想成立。给出了广义拉盖尔多项式的显式表达式
因此，根据命题6.1的相关多项式由
为了研究Laguerre多项式的限制性Stenger猜想，我们将研究二项式函数截断n次的零点，即:
(7.1)
我们需要下面的Enestr?m-Kakeya定理[8]。
设为任意多项式。设置
那么所有的零都包含在环空中
我们引入多项式
(7.2)
多项式和之间的联系由下面给出。
对于任何一个，我们都有
(7.3)
我们按归纳法进行。这一主张对……来说微不足道。假设(7.3)对n成立，我们有
证明到此结束
因为多项式的所有零点都在半平面上。
该条件保证(7.2)中定义的多项式的系数为正。的系数的连续比值为
当k从0到。因此，根据Enestr?m-Kakeya定理7.1，的零点包含在环空中
由于?1不是零，并且根据引理7.1，满足的零
(7.4)
因此，我们有
(7.5)
对于z的每一个0，都在一个圆心半径小于1的环中。因此，的每一个零点z满足。□
命题6.1、7.1和(7.1)清楚地证明了以下几点。
限制Stenger猜想对拉盖尔多项式成立，当。
可以使用[6]中的结果改进推论7.1，其中表明，对于和，多项式
如果Hurwitz是稳定的，那么Laguerre-Koornwinder多项式定义在哪里
因此，根据命题6.1，对于Laguerre-Koornwinder多项式，限制Stenger猜想成立。我们提供的推论7.1的证明的优点是，它可以应用于使用Enestr?m-Kakeya定理或它的许多现有变体的其他正交多项式。
与n次多项式P相关的极形式(或开花)(Ramshaw, 1989)的概念定义如下:
设P是一个小于或等于n次的复多项式。在n个变量P中存在一个唯一的多仿射对称函数，使得对于每一个z，我们有。函数p称为多项式p的极坐标形式或开花形式。
考虑以下在小于等于n次多项式空间上的双线性de Boor-Fix算子，定义如下:对于两个给定的小于等于n次的多项式P, Q，我们定义
(8.1)
表达式与τ无关对于任何复数和任何n次多项式P，我们有
(8.2)
其中p是多项式p的极坐标形式。
下面，为了通用性，我们假设定义中的受限矩阵和是区间内任意不同的实数。
受限矩阵的特征值与多项式的零点重合
和
分别为的极坐标形式;指数函数截断的n次，即
(8.3)
用多项式表示
是的。因此，式(6.1)中定义的多项式可以写成
因此，由式8.2，我们有，其中是多项式的开花。而且，从花开的定义来看，很明显
这就是证明的结论。类似的论证为……提供了证据
我们需要著名的沃尔什重合定理，因此需要在复平面上定义圆形区域。
复平面的圆形区域被定义为封闭或开放单位圆盘在非奇异莫比乌斯映射下的像
其中a b c d是复数，使得。莫比乌斯映射是将扩展平面映射到自身，其性质是将每个圆映射到圆或直线上，将每个直线映射到圆或直线上。一个圆区域是以下的一个:一个开圆盘，一个闭圆盘，一个开半平面，一个包括∞的闭半平面，一个包括∞的圆的开外，或一个包括∞的圆的闭外。
(Walsh重合定理[9])。设f是一个有n个复数变量，总度数为n的对称多仿射函数。设n个位于圆形区域内的复数。那么，存在一个ζ
从前面的定理，我们推导出如下。
限制性Stenger猜想对和，对任意权函数ω都成立。
可以证明指数的截断多项式;;它在圆形区域内都是零。我们假设多项式的η为零。然后，我们有
由于复数属于圆形区域，根据Walsh重合定理，存在这样的情况。这就导致了一个矛盾。类似的论证也可用来证明与。□的定理
在推论8.1的证明中，正交多项式的零点唯一使用的性质是它们是实数不同的并且在区间内。因此，如果在区间中定义具有任意不同实数的受限矩阵和，则推论8.1的结论仍然成立。
设，为区间内n个不同的并置点的集合。给出了基于点的n次配置方法作为微分方程的解
，其中配置多项式P定义为
给定()与实数和let。给出了求解初值问题的s阶段龙格-库塔法
文献[10]表明，基于的配置方法等价于矩阵a、系数b为的龙格-库塔方法
(9.1)
式中为基于的初等拉格朗日插值多项式。此外，配置法的顺序与基础正交公式的顺序一致。龙格-库塔方法的稳定性函数由
该方法的稳定区域定义为
如果龙格-库塔的稳定域满足，则称它是A稳定的
数据(9.1)下的配置龙格-库塔法的稳定性函数由
(9.2)
这是指数函数截断的n次开花。
我们应该注意到矩阵A就是矩阵，同样的，矩阵就是矩阵。因此，根据定理8.1，我们有
类似地，我们有
证明到此结束
对于区间上的对称权函数ω，配置龙格-库塔方法的a -稳定性，作为相关正交多项式的零点，等价于对ω的限制性Stenger猜想的有效性。
如果该方法是a稳定的，则R的极点必然属于复右半平面，因此对于ω，限制性Stenger猜想成立。现在让我们假设限定斯登格猜想对ω成立。因为权函数在区间上是对称的，所以0，对于区间是对称的。因此
对于任意实数α。因此，对于虚轴上的z。此外,由于
R在复左半平面上没有极点，我们得出。证明到此结束
根据前面的推论和定理6.1，我们得出如下结论。
基于移位的雅可比多项式的零点的搭配龙格-库塔方法是a稳定的。特别是，对于(见图1)
移位的切比雪夫多项式
移位Gegenbauer多项式;
图1
序星构型的Legendre(左上)、Chebyshev第一类(右上)、Chebyshev第二类(左下)和Gegenbauer with(右下)搭配龙格-库塔方法。构型显示了方法的a稳定性
同样，由推论8.1，我们得出任何基于与区间对称的搭配点的搭配龙格-库塔方法都是a稳定的。
在本文中，我们证明了一类具有特定性质的权函数的扩展和限制Stenger猜想的有效性。作为应用，我们证明了Jacobi和广义Laguerre正交多项式族猜想的有效性。当配置点相对于区间对称时，我们将限制性Stenger猜想与配置龙格-库塔方法的a -稳定性联系起来。这使我们能够证明一大类配置方法的a -稳定性。
下载原文档：https://link.springer.com/content/pdf/10.1186/s13660-023-03019-8.pdf
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